非线性规划 - 数学建模_新闻动态

非线性规划 - 数学建模

规划问题的数学模型一般由三个因素构成 决策变量目标函数约束条件。
在描述目标函数或者约束条件的数学表达式中，至少有一个是非线性函数，这样的优化问题称为非线性规划。一般来说，解决非线性规划问题要比解决线性规划问题困难得多。
对于非线性规划问题，目前还没有一种适用于一般情况的求解方法，各种方法都有各自特定的应用范围。

1、基于求解器求解

在MatLab工具箱中，用于求解无约束极小值问题的函数有 fminunc 和 fminsearch （局部最优化算法），
fminunc（采用拟牛顿法(QN)，是一种使用导数的算法）：

输入参数：
fun 为要计算最小值的函数；
x0 为初始点；
options 为优化选项。
输出参数：
x 为解，fval 为解处的目标函数值；
exitflag 为fminunc 停止的原因，output 为有关优化过程的信息，grad 为解处的梯度，hessian 为逼近 Hessian 矩阵。

fminsearch（采用Nelder-Mead单纯形法，是一种直接搜索法）：

输入参数：
fun 为要计算最小值的函数；
x0 为初始点；
options 为优化选项。
输出参数：
x 为解，fval 为解处的目标函数值；
exitflag 为fminunc 停止的原因，output 为有关优化过程的信息。
除此之外 fminsearch 还可以：
监视优化过程并绘制目标函数图：设置选项，以监视 fminsearch 尝试定位最小值的过程，
设置选项，以在每次迭代时绘制目标函数图。
具有额外参数时求最小值：有时您的目标函数具有额外参数。这些参数不是要优化的变量，它们是优化过程中的固定值，您可以通过创建匿名函数将该参数包含在您的目标函数中，创建目标函数并将其额外形参作为额外实参。

2、基于问题求解

类似于线性规划和整数规划，首先需要用变量和表达式构造优化问题，然后用solve函数求解，详见例题。

3、例题

（2）基于问题求解

求得的极小值点为 (1，0)，极小值为 -5；极大值点为 (-3，2)，极大值为 31。

有约束极值问题就是一般的非线性规划问题

1、基于求解器求解

其中
输入参数：
fun 为要计算最小值的函数
x0 为初始点，指定为实数向量或实数数组。求解器使用 x0 的大小以及其中的元素数量确定 fun 接受的变量数量和大小。
A 为线性不等式约束矩阵，A 表示约束中的线性系数；
b 为线性不等式约束向量，b 表示约束中的常向量；
Aeq 为线性等式约束矩阵，beq 为线性等式约束向量；
lb 为下界，ub 为上界；
nonlcon 为非线性约束；
options 为 intlinprog 的选项，problem 为封装输入和选项的结构体，lambda 为解处的拉格朗日乘数，grad 为解处的梯度，hessian 为逼近 Hessian 矩阵
输出参数：
x 为解，fval 为目标函数最优值；
exitflag 为算法停止条件，output 为求解过程摘要。