PCA(Principal Component Analysis,主成分分析)是一种常用的数据降维方法,也可以应用于点云配准。下面简要介绍一下如何使用 MATLAB 进行 PCA 点云配准。
首先,假设我们有两个点云数据集 $P$ 和 $Q$,每个点云有 $n$ 个点,每个点的坐标为 $(x_i, y_i, z_i)$。我们的目标是找到一个变换矩阵 $R$ 和一个平移向量 $t$,使得 $P$ 经过变换后能够和 $Q$ 对齐。下面是具体的步骤:
1. 对于每个点云,计算出其质心 $c$,即
$$c = frac{1}{n} sum_{i=1}^n p_i$$
其中 $p_i$ 表示点云中的第 $i$ 个点。
2. 将每个点云中的点减去其质心,得到新的点云 $P'$ 和 $Q'$。
$$p_i' = p_i - c_p,quad q_i' = q_i - c_q$$
3. 计算点云 $P'$ 和 $Q'$ 的协方差矩阵 $S_{pp}$ 和 $S_{qq}$,以及它们的 cross-covariance 矩阵 $S_{pq}$,即
$$S_{pp} = frac{1}{n} P'^T P',quad S_{qq} = frac{1}{n} Q'^T Q',quad S_{pq} = frac{1}{n} P'^T Q'$$
4. 对 $S_{pp}$ 和 $S_{qq}$ 进行特征值分解,得到它们的特征向量 $V_p$ 和 $V_q$,以及对应的特征值 $lambda_p$ 和 $lambda_q$。
5. 选取 $S_{pq}$ 中特征值最大的 $k$ 个特征向量,组成矩阵 $V_{pq}$,即
$$V_{pq} = [v_1, v_2, dots, v_k]$$
其中 $v_i$ 表示第 $i$ 大的特征值对应的特征向量。
6. 计算旋转矩阵 $R$ 和平移向量 $t$,使得 $P'$ 经过变换后能够和 $Q'$ 对齐,即
$$R = V_{pq} V_p^T V_q,quad t = c_q - R c_p$$
这里 $V_p^T$ 和 $V_q$ 表示 $V_p$ 和 $V_q$ 的转置矩阵。